Задача Льва Толстого (решение)
Отвлечемся от мрачной развязки этой истории и остановимся на ее геометрической стороне. Можно ли установить по данным, которые рассеяны по всему тексту этого рассказа, сколько примерно десятин земли обошел Пахом?
Задача, на первый взгляд, как будто невыполнимая, решается, однако, довольно просто.
Решение:
Внимательно перечитывая рассказ и извлекая из него все геометрические указания, нетрудно убедиться, что полученных данных вполне достаточно для исчерпывающего ответа на поставленный вопрос. Можно даже начертить план обойденного Пахомом земельного участка.
Прежде всего, из рассказа ясно, что Пахом бежал по сторонам четырехугольника. О первой стороне его читаем:
«Верст пять прошел... Пройду еще верст пяток; тогда влево загибать...»
Значит, первая сторона четырехугольника имела в длину около 10 верст.
О второй стороне, составляющей прямой уголс первой, численных указаний в рассказе не сообщается.
Длина третьей стороны, очевидно, перпендикулярной ко второй — указана в рассказе прямо: «По третьей стороне всего версты две прошел» .
Непосредственно дана и длина четвертой стороны: «До места все те же верст 15».
По этим данным мы и можем начертить план обойденного Пахомом участка (рис.1). В полученном четырехугольнике АВСD сторона АВ=10 верстам; СD=2 верстам; АD=15 верстам; углы В и С — прямые. Длину х неизвестной стороны ВС нетрудно вычислить, если провести из D перпендикуляр DЕ к АВ (рис. 2). Тогда в прямоугольном треугольнике АЕD нам известны катет АЕ = 8 верстам и гипотенуза АD= 15 верстам. Неизвестный катет ЕD=13 верстам (находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 15 и известным катетом 8).
Итак, вторая сторона имела в длину около 13 верст. Очевидно, Пахом ошибся, считая вторую сторону короче первой.
Как видите, можно довольно точно начертить план того участка, который обежал Пахом. Несомненно, Л. Н. Толстой имел перед глазами чертеж наподобие рис.1, когда писал свой рассказ.
Теперь легко вычислить и площадь трапеции АВСD, состоящей из прямоугольника ЕВСD и прямоугольного треугольника АЕD. Она равна
2*13+1/2*8*13=78 кв. верстам.
Вычисление по формуле трапеции дало бы, конечно, тот же результат:
1/2*(АВ+СD)*ВС=1/2*(10+2)*13=78 кв. верст.
Мы узнали, что Пахом обежал обширный участок площадью в 78 кв. верст, или около 8000 десятин. Десятина обошлась ему в 12,5 копеек.
Желаю Вам научных, творческих успехов и не останавливаться на достигнутом.
Людмила Николаевна Косинова
